Barcan formulė ir jos konversija

Barcan formulė ir jos konversija – tai svarbūs kvantorinės modalinės logikos principai, apibrėžiantys sąveiką tarp kvantorių ir modalinių operatorių. Barcan formule vadinama viena iš šių dviejų ekvivalenčių schemų: 

1. ◊∃xA → ∃x◊A
2. ∀x□A → □∀xA

(2) schema gaunama atlikus sakinio (1) kontrapoziciją ir pakeitus galimybės operatorių ir dalinį kvantorių atitinkamai būtinumo operatoriumi ir universaliu kvantoriumi pagal standartinius jų apibrėžimus (t. y. □ := ~◊~ bei ∀x := ~∃x~). Paminėtina, kad nors Barcan formulė vadinama formule, griežtąja prasme ji yra ne formulė, o schema, kadangi sakiniuose (1) ir (2) išraiška „A“ yra metalingvistinis kintamasis, todėl nei (1), nei (2) nėra kvantorinės modalinės logikos formulės. Konkreti taisyklinga formulė gaunama pakeitus metakalbinį kintamąjį į kvantorinės modalinės objektinės kalbos formulę (nesvarbu, sudėtinę ar paprastą, su laisvais kintamaisiais ar be jų).

Barcan formulė (1) numato, kad jei galėtų būti kažkas, kas išpildo A, tai yra kažkas, kas galėtų išpildyti A. Pavyzdžiui, kai A reiškia „x yra Wittgensteino vaikas“, tai Barcan formulė (1) teigia, kad jei galėtų egzistuoti Wittgensteino vaikas, tai egzistuoja kažkas, kas galėtų būti Wittgensteino vaikas. Barcan formulės versija (2) tvirtina, kad jei viskas būtinai išpildo A, tai būtina, kad viskas išpildytų A. 

Barcan formulės konversija – tai schema:

3. ∃x◊A → ◊∃xA

– arba jai ekvivalenti schema, gaunama analogiškai kaip anksčiau gauta schema (2):

4. □∀xA → ∀x□A

Barcan formulės konversija (3) numato, kad jei egzistuoja kažkas, kas išpildo galimai A, tai galėtų egzistuoti kažkas, kas išpildytų A. Pavyzdžiui, kai A reiškia „x yra Wittgensteino vaikas“, tai schema (3) teigia, kad jei egzistuoja kažkas, kas galėtų būti Wittgensteino vaikas, tai galėtų egzistuoti kažkas, kas būtų Wittgensteino vaikas. 

Barcan formulė ir jos konversija yra itin svarbūs modalinės logikos principai, kadangi jos išreiškia tezes apie egzistavimo atsitiktinumą ir būtinumą ir apie skirtingų pasaulių domenų tarpusavio ryšius. Verta paminėti, kad Barcan formulė ir jos konversija pasirodė pirmąjame kvantorinės modalinės logikos tyrime – praėjusiojo šimtmečio viduryje Ruth Barcan išleistame straipsnyje „A Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication“ (jos vardu šios formulės vadinamos iki šiol; taip pat paminėtina, kad XI amžiuje Avicena savo logikos veikaluose taip pat aptaria šias schemas, žr. Hodges 2022, Williamson 2013). Šiame straipsnyje Barcan išplečia Clarence’o Irvingo Lewiso ir Cooperio Haroldo Langfordo (1932) išvystytą aksiomatinę modalinę teiginių logiką prie jos prijungdama individinius kintamuosius, kvantorius, naujas aksiomų schemas ir išvedimo taisykles. Viena iš Barcan įvestų aksiomų schemų nusako formalius sąryšius tarp modalinių operatorių ir kvantorių (Barcan 1946: 2):

5. ◊∃xA ⥽ ∃x◊A

– kur „⥽“ – tai griežtoji implikacija, apibrėžiama taip:

A ⥽ B =_def □(A → B).

Performulavus (5) pagal griežtosios implikacijos apibrėžimą gauname:

6. □(◊∃xA → ∃x◊A)

Barcan savo straipsnyje dirbo vien įrodymų teorijos rėmuose, taigi ir be formaliosios semantikos, kuri nusakytų šios schemos substitucinių atvejų interpretacijas. Kadangi visose normaliose modalinėse logikose galioja būtinumo įvesties išvedimo taisyklė:

7. jei ⊢φ, tai ⊢□φ,

– tai (6) galima pakeisti anksčiau aptarta aksiomos schema (1), ir iš pastarosios išvesti (6) kaip teoremą. Dėl istorinių aplinkybių šiuolaikiniame modalinės metafizikos ir logikos diskurse Barcan formule dažniausiai vadinamos schemos (1) arba (2), o ne originale pateiktoji (5) (tas pats galioja ir Barcan formulės konversijai; taip pat pastebėtina, kad Barcan straipsnyje Barcan formulės konversija yra ne aksioma, o teorema, t. y. formulė, įrodyta iš kitų aksiomų ir išvedimo taisyklių; žr. Barcan 1946: 7).

Dauguma autorių atmeta Barcan formulę ir jos konversiją. Timothy’o Williamsono teigimu (2013: 34–35), Barcan schemos kontraintuityvumas ypač ryškiai atsiskleidžia svarstant šios schemos atvejį, kai A pakeičiame formule @~∃y(x=y), teigiančia, kad x faktiškai neegzistuoja (kur @  tai aktualumo operatorius, kuris išraiškos einančios po jo teisingumo ar klaidingumo įvertinimo vietą grąžina į faktinį pasaulį): 

8. ◊∃x@~∃y(x = y) → ∃x◊@~∃y(x = y).

Ši formulė teigia, kad jei galėjo būti kažkas, ko faktiškai nėra, tai yra kažkas, ko galėtų faktiškai nebūti. Atrodo, kad antecedentas yra teisingas, mat galėjo egzistuoti kažkas, ko faktiškai nėra (pavyzdžiui, Wittgensteinas neturėjo vaikų, tačiau galėjo jų turėti). Tačiau (8) išraiškos konsekventas yra akivaizdžiai klaidingas. Visų pirma, pastebėtina, kad konsekvente ∃x◊@~∃y(x = y) esantis modalinis operatorius ◊ yra inertiškas, kadangi aktualumo operatorius vis tiek grąžina tolimesnės išraiškos dalies įvertinimo vietą į faktinį pasaulį. Tačiau formulėje ∃x@~∃y(x = y) ir aktualumo operatorius nebeatlieka jokios funkcijos, nes nesama jokių modalinių operatorių – taigi, konsekventas yra ekvivalentus išraiškai ∃x~∃y(x = y), o pastaroji yra prieštaringa išraiška (nemodalinėje) kvantorinėje logikoje. Taigi, konsekventas yra klaidingas. Vadinasi, jei priimame Barcan formulę, turime priimti ir antecedento neigimą: būtina, kad viskas faktiškai egzistuoja. Tai daugeliui filosofų nepriimtinas teiginys, todėl daugelis atmeta pačią Barcan formulę.

Norint atmesti Barcan schemą galima naudoti Saulo Kripkės (1963) aktualistinę ir varijuojančio domeno modeliais paremtą galimų pasaulių semantiką, kurioje kiekvienam galimam pasauliui priskiriame individų, egzistuojančių tame galimame pasaulyje, domeną ir kurioje kiekviename pasaulyje kvantorių galiojimo sritis yra to pasaulio domenas. Formaliai galimiems pasauliams priskyrę (galimai) skirtingas aibes individų, net stipriausioje modalinėje logikoje S5 galime atmesti tai, kad jei kažkuriame pasaulyje egzistuoja Wittgensteino sūnus, tai faktiniame pasaulyje yra kažkas, kas kažkuriame kitame pasaulyje yra Wittgensteino sūnus. Pateikiame įrodymą, kad Barcan formulė nėra tapačiai teisinga aktualistinėje kintamo domeno semantikoje (plačiau žr. Modalinė logika). Tiksliau kalbant – įrodome, kad vienas Barcan schemos substitucijos atvejis nėra teisingas viename minėtos semantikos modelyje: M, w₁, a ⊭ ◊∃xP(x) → ∃x◊P(x), kai a – tai bet kokia kintamųjų priskyrimo funkcija, o M = (W, D, V), kur W = {w₁, w₂}, D_w1 ={e}, D_w2 = {d, e}, o V(P, w₁) = {}, V(P, w₂) = {d}. Įrodome, kad antecendentas yra teisingas, o konsekventas klaidingas. 

• Antecedentas yra teisingas. M, w₁, a ⊨ ◊∃xP(x), kadangi M, w₂, a ⊨ ∃xP(x). Pastarasis teiginys teisingas, nes d yra D_w2 aibės narys ir M, w₂, a[v / d] ⊨ P(x), tad M, w₂, a ⊨ ∃xP(x). Taigi, M, w₁, a ⊨ ◊∃xP(x). 
• Konsekventas yra klaidingas. M, w₁, a ⊭ ∃x◊P(x), jei ir tik jei M, w₁, a ⊨ ~∃x◊P(x), jei ir tik jei M, w₁, a ⊨ ∀x~◊P(x). Kadangi e yra vienintelis D_w1 narys, tai M, w₁, a ⊨ ∀x~◊P(x), jei ir tik jei M, w₁, a[x / e] ⊨ ~◊P(x)). T. y. jei ir tik jei M, w₁, a[x / e] ⊨ □~P(x). Kadangi ir M, w₁, a[x / e] ⊨ ~P(x), ir M, w₂, a[x / e] ⊨ ~P(x), o w₁ ir w₂ yra vieninteliai W nariai, tai M, w₁, a[x / e] ⊨ □~P(x). Taigi, M, w₁, a ⊭ ∃x◊P(x).

Parodėme, kad M, w₁, a ⊭ ◊∃xP(x) → ∃x◊P(x). Ši formulė yra Barcan formulės substitucijos atvejis, taigi, Barcan formulė nėra tapačiai teisinga aktualistinėje varijuojančių domenų aktualistinėje semantikoje.

Galima nusakyti formalią Kripkės modelių savybę atitinkančią Barcan formulę. Visuose Kripkės modeliuose, kuriuose galioja sąlyga, kad visiems w₁ ir w₂, jei w₁Rw₂, tai D_w2 ⊆ D_w1, Barcan formulė yra teisinga. Kalbant intuityviai, remiantis šia formalia sąlyga galioja tai, kad iš vieno galimo pasaulio pereinant į kitą, visi individai, esantys antrojo pasaulio domene, yra ir pirmojo pasaulio domene (nors pirmajame jų galimai yra daugiau). Kitaip sakant, pereinant iš vieno pasaulio į kitą jokių naujų individų nesutinkama. Visos sintaksiškai išvedamos formulės įrodymų teorijoje K_+Barcan yra semantiškai pagrįstos išraiškos šią sąlygą atitinkančiuose Kripkės modeliuose (plačiau žr. Modalinė logika bei Fitting 1999).

Barcan formulės konversija:

9. ∃x◊A → ◊∃xA

– taip pat daugelio autorių atmetama. Kai metakintamąjį A pakeičiame į išraišką „x neegzistuoja“ (t. y. ~∃y(x = y)), tai (9) teigia, kad jei faktiškai yra kažkas, kas gali neegzistuoti, galimai kažkas egzistuoja neegzistuodamas. Atrodo, kad antecedentas yra teisingas, nes, pavyzdžiui, kitaip susiklosčius Sokrato tėvų gyvenimams Sokrato iš tikrųjų galėjo nebūti. Tačiau konsekventas yra klaidingas, kadangi ∃x~∃y(x=y) yra prieštaringa išraiška (nemodalinėje) predikatų logikoje.

Norėdami atmesti Barcan schemos konversiją galime naudoti tą pačią aktualistinę varijuojančių domenų Kripkės galimų pasaulių semantiką. Tai, kad Barcan formulės konversija nėra tapačiai teisinga šioje semantikoje, galima įsitikinti svarstant tokį modelį: tarkime, kad M = (W, D, V), kur W = {w₁, w₂}, D_w1 = {e, d}, D_w2 = {e}, V(P, w₁) = {}, V(P, w₂) = {d}. Įrodymą praleidžiame, bet jis analogiškas anksčiau pateiktajam.

Galima nusakyti formalią Kripkės modelių savybę atitinkančią Barcan schemos konversiją. Visuose Kripkės modeliuose, kuriuose galioja sąlyga, kad visiems w₁ ir w₂, jei w₁Rw₂, tai D_w1 ⊆ D_w2, Barcan formulės konversija yra teisinga. Kalbant intuityviai, pagal šią sąlygą galioja tai, kad kai iš vieno galimo pasaulio pereiname į kitą, tai visi individai iš pirmojo pasaulio pereina kartu į antrąjį, bet antrajame gali būti ir daugiau individų. Kitaip sakant, pereinant iš vieno pasaulio į kitą pasaulį jokie individai nepradingsta. Visos sintaksiškai išvedamos formulės įrodymų teorijoje K_{+BarcanKonversija} yra semantiškai tapačiai teisingos formulės šią sąlygą atitinkančiuose Kripkės rėmuose.

Svarbu pabrėžti, kad jei modelyje prieinamumo ryšys tarp pasaulių yra simetriškas (t. y. jei visiems w₁ ir w₂, jei w₁Rw₂, tai w₂Rw₁), tai arba ir Barcan schema, ir jos konversija yra teisinga, arba nei viena, nei kita yra klaidinga. Tai išplaukia iš atitinkamų formalių Kripkės modelių savybių.

Galima teigti, kad nesutarimas tarp necesitistų (t. y. tų, kurie mano, jog būtina, kad visa kas būtinai būtų kažkas) ir kontingentistų (t. y. tų, kurie mano, jog tai, kas egzistuoja, yra atsitiktina) yra ginčas tarp palaikančiųjų Barcan schemą bei jos konversiją ir ją neigiančiųjų (plačiau žr. Necesitizmas ir kontingentizmas). Tuo galime įsitikinti tokiu būdu: jei svarstysime anksčiau aptartą Barcan schemos koversijos atvejį, kai A – ~∃y(x = y), t. y.:

(8) ∃x◊~∃y(x = y)  → ◊∃x~∃y(x = y)

– ir priimsime, kad ∃x~∃y(x = y) yra būtinai neteisinga išraiška, kadangi ji yra prieštaringa pagal (nemodalinės) predikatų logikos dėsnius, tai turėsime daryti išvadą, kad:

(9) ~∃x◊~∃y(x = y)

Iš pastarosios pagal kvantorių bei galimybės ir būtinumo sukeitimo taisykles galime išvesti:

(10) ∀x□∃y(x = y)

O pagal anksčiau aptartą būtinumo įvesties išvedimo taisyklę (jei ⊢φ, tai ⊢□φ) galime išvesti, kad:

(11) □∀x□∃y(x=y)

– t. y., kad būtinai absoliučiai visi individai egzistuoja būtinai.

Literatūra

Barcan, R., 1946. A Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication. The Journal of Symbolic Logic, 11(01): 1–16.

Fitting, M. & Richard L. M., 1998. First-Order Modal Logic, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Fitting, M., 1999. Barcan Both Ways. Journal of Applied Non-Classical Logics, 9(2-3): 329–344.

Hughes, G. E. & Cresswell, M. J., 1996. A New Introduction to Modal Logic, London: Routledge.

Lewis, C. I. & Langford, C. H., 1932. Symbolic Logic. London: Century.

Kripke S. A., 1963. Semantical Considerations on Modal Logic. Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.

Plantinga, A., 1974. The Nature of Necessity. Oxford: Clarendon.

Stalnaker, R., 1994. The Interaction of Modality with Quantification and Identity. In: Modality, Morality and Belief: Essays in honor of Ruth Barcan Marcus, (eds.) W. Sinnott-Armstrong, D. Raffman & N. Asher, 12 –28. Cambridge: Cambridge University Press.

Wilfrid Hodges, How did Avicenna understand the Barcan formulas?, Logic Journal of the IGPL, Volume 31, Issue 6, December 2023, Pages 1170–1191. 

Williamson, T., 2013. Modal Logic as Metaphysics. Oxford: Oxford University Press.

Plačiau skaityti 

Apie Barcan schemą ir jos konversiją modalinės logikos kontekste žr. Cresswell & Hughes 1996: 235–311, Fitting & Mendelsohn 1998: 81–115, Fitting 1999; apie Barcan schemą ir jos konversiją modalinės metafizikos kontekste žr. Plantinga 1974: 58–59, Stalnaker 1994, Williamson 2013: 30–130.