Nekintamo domeno modeliuose turime tik vieną domeną. Kiekviename galimame pasaulyje kvantorių galiojimo sritis yra identiška, t. y. modelio domenas D. Tačiau kaip minėta anksčiau, gali atrodyti, kad skirtingi objektai egzistuoja skirtinguose pasauliuose. Atrodytų, kad kvantoriai gali turėti vis kitokius domenus skirtinguose pasauliuose. Neformaliai, jei aš būčiau neegzistavęs, tai ar tokiame galimame pasaulyje, kai kažkas sakytų, jog visi objektai pasižymi savybe P, ar aš būčiau įtrauktas į „visi“? Varijuojančio domeno modelių bei aktualistinių kvantorių šalininkai atsako neigiamai – skirtinguose galimuose pasauliuose egzistuoja vis kiti individai, o kvantorių galiojimo sritis yra tik vietinis pasaulio domenas, taigi kvantoriai „pasiekia“ tik tame pasaulyje egzistuojančius objektus. Kita vertus, varijuojančio domeno modeliuose galima apibrėžti ir posibilistinius kvantorius. T. y. nors kiekvienas pasaulis gali turėti vis kitą domeną, tačiau kvantorių galiojimo sritis čia laikoma visų vietinių domenų sąjunga – t. y. globalus modelio domenas. Kaip pamatysime, prie varijuojančių domenų modelių semantikos prijungus posiblistinius kvantorius formaliu požiūriu gauname tą pačią nekintamo domeno modelių semantiką. Taip pat parodysime kokiu būdu galima išversti nekintamo domeno semantiką į varijuojančio domeno semantiką, ir atvirkščiai. Varijuojančio domeno papildytas Kripkės rėmas G – tai trejetas (W, R, D), kai W ir R kaip visuomet, o D – tai domeno funkcija, kuri kiekvienam w∊W priskiria domeną Dw. Apibrėžkime globalų varijuojančio domeno rėmo domeną: tegul D = ⋃{Dw: w∊W}. Varijuojančio domeno modelis M, paremtas varijuojančio domeno papildytu Kripkės rėmu G – tai ketvertas (W, R, D, V), kai (W, R, D) = G, o V – tai interpretacinė funkcija, kuri (i) kiekvienam w∊W ir n-viečiam predikatui P priskiria n-vietį domeno D sąryšį, t. y. V(P, w) ⊆ Dn; ir (ii) visoms individinėms konstantoms a priskiria objektą iš D, t. y. V(a)∊D. [Tiesa modelyje] Taisyklinga predikatų modalinės logikos formulės φ teisingumą varijuojančio domeno modelyje apibrėžiame lygiai taip pat, kaip ir nekintamo domeno modeliuose, išskyrus: aktualistiniai kvantoriai M, w, a ⊨ ∃xφ jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ bent vienam d ∊ Dw; M, w, a ⊨ ∀xφ jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ visiems d ∊ Dw; posibilistiniai kvantoriai M, w, a ⊨ ∃xφ jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ bent vienam d ∊ D; M, w, a ⊨ ∀xφ jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ visiems d ∊ D. Aktualistinių kvantorių atveju, intuityviai sakome, kad visi x yra tokie, jog φ yra teisinga formulė, jei ir tik jei, kad ir kokį individą iš w priskirtume x’ui, vis tiek gausime teisingą formulę φ. Mutatis mutandis dalinio kvantoriaus atveju. Posiblistinių kvantorių atveju – visi x yra tokie, kad φ yra teisinga formulė, jei ir tik jei, kad ir kokį faktinį ar vien tik galimą individą priskirtume x’ui, vis tiek gausime teisingą formulę φ. Mutatis mutandis dalinio kvantoriaus atveju. Palyginus nekintamo domeno modelių semantikos formulės ∀xφ teisingumo sąlygas ir varijuojančio domeno modelių semantikos su posibilistine kvantorių interpretacija akivaizdu, kad šios logikos yra identiškos. Toliau varijuojančio domeno semantika vadiname tik varijuojančio domeno semantiką su aktualistine kvantorių interpretacija. Barcan schema ir jos konversija varijuojančio domeno semantikoje Parodome, kad varijuojančio domeno semantikoje su aktualistiniais kvantoriais Barcan schema nėra tapačiai teisinga, t. y. yra kontrapavyzdžių šiai schemai. Tegul a – tai bet kokia kintamųjų priskyrimo funkcija. Tuomet, M, w2, a[d / x] ⊨ P(x), nes a[d / x]=d, o objektas d turi savybę P. Taigi, M, w2, a ⊨ ∃xφ(x), nes yra kažkokia kintamųjų priskyrimo funkcija, kuria remiantis P(x) yra teisinga formulė galimame pasaulyje w2, t. y. būtent a[d / x]. Kadangi w1Rw2, tai M, w1, a ⊨ ◊∃xP(x). Parodėme, kad duotajam modelyje implikacijos antecedentas yra teisingas. Dabar turime parodyti, jog konsekventas yra klaidingas. M, w1, a ⊨ ~∃x◊P(x), nes vienintelis objektas egzistuojantis galimame pasaulyje w1 yra e, bet M, w1, a[e / x] ⊨ ~◊P(x)), kadangi vieninteliame galimame pasaulyje, kuris yra prieinamas iš w1, t. y. galimame pasaulyje w2, objektas e neturi savybės P. Parodėme, kad pateiktame modelyje ⊭VK ◊∃xP(x) → ∃x◊P(x). Pastaroji formulė yra Barcan schemos substitucijos atvejis, taigi, ⊭VK ◊∃xφ(x) → ∃x◊φ(x). ▮ Įrodymas, kad Barcan schemos konversija, t. y. ∃x◊φ(x) → ◊∃xφ(x), nėra tapačiai teisinga varijuojančio domeno semantikoje, beveik identiškas ką tik pateiktąjam. Sakykime, kad varijuojančio domeno papildytas Kripkės rėmas G yra: 1. nemažėjantis – jei visiems w, w1∊W, jei wRw1, tai Dw ⊆ Dw1; 2. nedidėjantis – jei visiems w, w1∊W, jei wRw1, tai Dw1 ⊆ Dw. Varijuojančio domeno modelis yra nemažėjantis (nedidėjantis), jei rėmas, kuriuo jis paremtas, yra nemažėjantis (nedidėjantis). Intuityviai kalbant, nemažėjančiuose modeliuose, kai pereiname iš vieno galimo pasaulio į kitą, tai su savimi „atsinešame“ visus individus iš praeito pasaulio – nė vienas individas nepradingsta. O nedidėjančiuose modeliuose, kai pereiname iš vieno galimo pasaulio į kitą, tai šiame pasaulyje nesurasime nė vieno naujo individo, nors galbūt kai kurie iš praeito pasaulio pradings. Tarkime, kad E(x) – tai formulės ∃y(x=y) trumpinys. Intuityviai kalbant, E(x) sako, kad x egzistuoja. Kadangi aktualistinio kvantoriaus ∃ domenas yra vietinis, tai E(x) sako – x yra tapatus kažkam iš vietinio domeno. Galima įrodyti, kad: 1. varijuojančio domeno papildytas Kripkės rėmas G yra nedidėjantis, jei ir tik jei G ⊨VL ◊∃xφ(x) → ∃x◊φ(x) (t. y. jei Barcan schema yra tapačiai teisinga rėme), jei ir tik jei G ⊨VL ◊E(x) → E(x); 2. varijuojančio domeno papildytas Kripkės rėmas G yra nemažėjantis, jei ir tik jei G ⊨VL ∃x◊φ(x) → ◊∃xφ(x) (t. y. Barcan schemos konversija yra G-tapačiai teisinga), jei ir tik jei G ⊨VL E(x) → □E(x), jei ir tik jei G ⊨VL ∀x□E(x); (faktų 1. ir 2. įrodymai žr. Fitting & Mendelsohn 1998: 180–182 ir Fitting 1999). Taigi, intuityviai kalbant Barcan schema sako, kad judant nuo vieno galimo pasaulio prie kito niekas neatsiranda, o Barcan schemos konversija sako, kad judant nuo vieno galimo pasaulio prie kito niekas neišnyksta. Jei kažkokiame varijuojančio domeno modelyje tiek Barcan schema, tiek Barcan schemos konversija yra tapačiai teisingos formulės, tai šiame modelyje niekas neatsiranda ir niekas neišnyksta. Taigi, formulė φ yra tapačiai teisinga nekintamo domeno semantikoje, jei ir tik jei φ yra tapačiai teisinga kiekviename varijuojančio domeno semantikos modelyje, kuriame tapačiai teisinga formulė ◊E(x) → E(x) & ∀x□E(x). Kitaip sakant, nekintamo domeno semantika gali būti išversta į varijuojančio domeno semantiką. Atitinkamai galime išversti ir varijuojančio domeno semantiką į nekintamo domeno semantiką, pastarojoje įsivedus neapibrėžtą egzistavimo predikatą. Neformaliai intuityvi idėja čia ta, kad: kadangi nekintamo domeno semantikoje turime vieną modelio domeną, o varijuojančio domeno semantikoje turime daug domenų, tai iš nekintamo domeno semantikos perspektyvos varijuojančio domeno semantikos kvantorių ∃x galime suprasti kaip teigiantį, jog visi iš globalaus domeno, kurie pasižymi faktinio egzistavimo savybe yra tokie, kad … Tokiu būdu galime išversti visas formules iš varijuojančio domeno semantikos į nekintamo domeno semantiką. Plačiau žr. Fitting (1998: 106–107).
