Modalinė logika

Modalinė logika – tai matematinės logikos sritis, tyrinėjanti loginius sąryšius tarp galimybę ir būtinumą išreiškiančių sakinių. Ir kasdienėje kalboje, ir filosofiniame bei moksliniame diskurse gausu modalinių sakinių: būtinai du plius du yra keturi, Gitanas Nausėda galėjo netapti Lietuvos Respublikos Prezidentu; būtina, kad jei mėgintuvėlyje yra vandens, tai mėgintuvėlyje yra H₂O. 

Nors modalumų kalboje gausu, nepasitelkiant formaliosios logikos teikiamų įrankių adekvačiai juos suprasti sudėtinga. Pavyzdžiui, jei Dievas žino, kad būtinai visi šiuo metu sėdintys žmonės sėdi, tai ar iš to logiškai plaukia, kad jie būtinai sėdi? Jei Saulės sistemos planetų skaičius, t. y. aštuoni, yra lyginis, bet Saulės sistema galėjo turėti ir mažiau planetų, pavyzdžiui, tik penkias, ar turėtume daryti išvadą, kad planetų skaičius, t. y. aštuoni, galėjo būti nelyginis? Jei negalime daryti tokios išvados, kodėl? Kokios yra pamatinės pagrįstų modalinių samprotavimų charakteristikos? Modalinė logika leidžia preciziškai suformuluoti modalinių sakinių teisingumo sąlygas bei nusakyti loginius sąryšius tarp jų.

Modalinės logikos nagrinėtos Aristotelio, Viduramžiais tokių filosofų kaip Dunsas Škotas, Jonas Buridanas ir kitų, Naujaisiais laikais – Gotfrydo Vilhelmo Leibnico bei praėjusiojo amžiaus pirmoje pusėje Clarence’o I. Lewiso ir Cooperio H. Langfordo (1932), Ruth Barcan (1946a, 1946b, 1947), Rudolfo Carnapo (1947, 1948), Alfredo Tarskio bei Johno C. C. McKinsey’o (1948). Pirmą kartą šiuolaikinės modalinės logikos perspektyva, įtraukianti ir formaliąją semantiką, sukurta Saulo Kripkės 1963 metais išleistame straipsnyje Semantiniai svarstymai apie modalinę logiką. Šiame straipsnyje išvystyta galimų pasaulių semantika.

Pamatinė galimų pasaulių semantikos idėja yra ta, kad sakinys p yra būtinai teisingas (žymima □p), jei ir tik jei visuose prieinamuose galimuose pasauliuose p yra teisingas, o p yra galimai teisingas (žymima ◇p), jei ir tik jei bent viename iš prieinamų galimų pasaulių p yra teisingas. Galimas pasaulis – tai pasaulio buvimo būdas, kuris visais aspektais yra apibrėžtas – atsako į visus „taip ar ne“ pobūdžio klausimus (žr. Galimi pasauliai). Taigi, 2+2=4 yra būtinai teisingas sakinys, nes, kad ir kas būtų įvykę, prie dviejų pridėjus du gautume keturis. Kita vertus, galėjo įvykti taip, kad Gitanas Nausėda nebūtų Lietuvos Respublikos Prezidentas, taigi, Gitanas Nausėda nėra Lietuvos Prezidentas yra galimai teisingas teiginys.

Kiekviena logika susideda iš simbolių, taisyklingų formulių specifikavimo, semantikos, nusakančios formulių teisingumo sąlygas bei apibrėžiančios pagrįstumą, ir įrodymų teorijos, apibrėžiančios įrodomumo sąryšį bei teoremų aibę. Pirmiausia aptarsime modalinę teiginių logiką, o tada modalinę predikatų logiką.

Modalinė teiginių logika

Modalinė teiginių logika gaunama prie klasikinės teiginių logikos prijungus modalinius operatorius būtinai (□) ir galimai (◇).

Simboliai

Modalinės teiginių logikos simboliai yra: paprastųjų sakinių aibės PS = {p₀, p₁, …} nariai; ⊥ (prieštaravimas), ~ (neigimas), & (konjunkcija), □ (būtinumo operatorius), ( (kairysis skliaustas), ) (dešinysis skliaustas).

Simboliai φ, ψ, ir t. t. – tai metakalboje vartojami metakintamieji, žymintys bet kurią sudėtinę ar paprastą taisyklingą formulę, pvz. p₁, (p₄₁₂₃₁ & p₂), ((p₅ & ~p₁₁₀₀₂₃) & p₁).

Taisyklingos formulės apibrėžiamos taip:

φ ::= p | ⊥ | ~ φ | (φ & φ) | □ φ

Kitus simbolius apibrėžiame tokiu būdu:

⊤ := ~⊥;

φ v ψ := ~(~φ & ~ψ);

φ → ψ := ~(φ & ~ψ);

φ ≡ ψ := (φ→ ψ) & (ψ → φ);

◇φ := ~□~φ,

– t. y. formulė φ yra galimai teisinga, jei ir tik jei nėra taip, jog φ yra būtinai klaidinga. Įprastai PS aibės narius įvardinsime šiais simboliais: p, q, r, … 

Modalinės teiginių logikos taisyklingos formulės pavyzdys – (◇(p v q) & □~(p & q)). Jei p reiškia „išlaikiau egzaminą“, o q – „laimėjau loteriją“, tai šią formulę skaitome: „galiu išlaikyti egzaminą arba laimėti loteriją, tačiau neįmanoma, jog išlaikyčiau egzaminą ir laimėčiau loteriją“. 

Semantika

Nusakėme modalinės teiginių logikos simbolius bei taisyklingas formules. Dabar specifikuojame, kada taisyklingos formulės yra teisingos modeliuose. Šiam tikslui mums reikės poros papildomų apibrėžimų.

Kripkės rėmas F – tai dvejetas (W, R), kur formaliai W – tai netuščia aibė, o R apibrėžiame kaip R ⊆ W². Intuityviai W suprasime kaip galimų pasaulių aibę, o R – kaip prieinamumo sąryšį tarp galimų pasaulių. Toliau Kripkės rėmus vadinsime tiesiog rėmais.

Pabrėžiame, kad nors modalinėje logikoje W intuityviai suprantame kaip aibę galimų pasaulių, tačiau siekiant matematiškai įrodyti, jog ši logika pasižymi tam tikromis savybėmis, ar parodyti tam tikrų samprotavimų pagrįstumą, to galima ir nedaryti. Matematine prasme W yra indeksų, kurių atžvilgiu priskiriame sakiniams logines teisingumo reikšmes, aibė. Indeksų aibės funkciją gali vienodai gerai atlikti ir natūralieji skaičiai, ir bet kurių kitų objektų aibė. Tas pats pasakytina ir apie prieinamumo ryšį R.

Prie Kripkės rėmo prijungiame funkciją, kuri specifikuoja sakinių interpretaciją – nusako, kokie sakiniai yra teisingi kiekviename pasaulyje.

Kripkės modelis (Kripke model) M, paremtas rėmu F – tai trejetas (W, R, V), kur (W, R) = F, o V – tai funkcija iš sakinių kintamųjų aibės PS į aibę galimų pasaulių aibės W poaibių, t. y. V: PS → P(W). Toliau Kripkės modelius vadinsime tiesiog modeliais. 

[Tiesa modelyje] Taisyklinga modalinės teiginių logikos formulė φ yra teisinga modelyje M = (W, R, V) galimame pasaulyje w ∊ W (žymime M, w ⊨ φ):

M, w ⊨ p, jei ir tik jei w ∊ V(p);

M, w ⊭⊥;

M, w ⊨ ~φ, jei ir tik jei M, w ⊭ φ;

M, w ⊨ φ & ψ, jei ir tik jei M, w ⊨ φ ir M, w ⊨ ψ;

M, w ⊨ □φ, jei ir tik jei M, w′ ⊨ φ visiems w′ ∊ W, kurie wRw′.

Disjunkcija, implikacija ir ekvivalencija gali būti apibrėžiamos per konjunkciją ir neigimą įprastu būdu. Pažymime, kad pagal anksčiau pateiktą galimybės ◇ apibrėžimą per būtinumą □, t. y. ◇φ := ~□~φ, ir ką tik pateiktą formulės □φ semantiką galime išvesti, jog:

M, w ⊨ ◇φ, jei ir tik jei M, w′ ⊨ φ bent viename w′∊W, kuris wRw′.

Taip pat iš duotų apibrėžimų galime išvesti, jog ~◇φ ≡ □~φ ir ◇~φ ≡ ~□φ: nėra taip, kad galimai φ yra ekvivalentu tam, kad būtina, jog ne-φ, o galimai ne-φ yra ekvivalentu tam, kad nėra taip, kad būtinai φ.

Pateikiame kelis modalinėje logikoje ypač svarbius apibrėžimus:

• formulė φ yra tapačiai teisinga modelyje M (žymima M ⊨ φ), jei ir tik jei φ yra teisinga formulė visuose modelio M pasauliuose;
• formulė φ yra tapačiai teisinga rėme F (žymima F ⊨ φ), jei ir tik jei φ yra tapačiai teisinga kiekviename modelyje M, kuris yra paremtas rėmu F;
• jei L yra rėmų rinkinys, tai sakoma, kad formulė φ yra L-tapačiai teisinga, (žymima ⊨_L φ), jei ir tik jei φ yra tapačiai teisinga kiekviename rėme, esančiame L; 

• formulė yra K-tapačiai teisinga (žymima ⊨_K φ), jei ir tik jei φ yra tapačiai teisinga visuose rėmuose;
• formulė φ yra išpildoma (modelyje, rėme ar rėmų rinkinyje L), jei ir tik jei ~φ nėra tapačiai teisinga formulė (atitinkamai modelyje, rėme ar rėmų rinkinyje L);
• visi modeliai, paremti bet kuriuo rėmu iš L-rėmų, yra L-modeliai.

Skirtingos modalinės teiginių logikos semantiškai nusakomos pagal L-tapačiai teisingų formulių aibes, t. y. iš esmės nurodant skirtingas L-rėmų klases. Pavyzdžiui, jei kalbėsime tik apie visus Kripkės rėmus, kuriuose kiekvienas galimas pasaulis yra prieinamas pats sau, tai turėsime modalinę logiką, kurioje formulė □φ → φ yra tapačiai teisinga. Intuityviai kalbant, tokiuose modeliuose tai, kas būtinai teisinga, yra ir faktiškai teisinga. Jei kalbėsime apie visus Kripkės rėmus nenurodę jokių sąlygų, tai □φ → φ nebus tapačiai teisinga formulė. Dėl šios priežasties modalinėse logikose ypač svarbus tampa prieinamumo sąryšis ir jam keliamos sąlygos. Logika, kurioje rėmams nenurodomos jokios sąlygos, vadinama K.

Kalbėdami apie rėmus pabrėžėme, jog siekiant įrodyti matematines modalinės logikos savybes W nereikia interpretuoti kaip aibės galimų pasaulių. Kaip iliustraciją pateikiame įrodymą, kad □(φ→ ψ) → (□φ →□ψ) yra tapačiai teisinga visuose modeliuose. 

Įrodome, kad ⊨_K □(φ→ ψ) → (□φ →□ψ).

Tarkime, kad M – tai bet koks modelis, o w – tai bet koks w ∊ W. Taip pat sakykime, kad M, w ⊨_K ~(□(φ → ψ) → (□φ → □ψ)), t. y. pagal neigimo ir implikacijos teisingumo sąlygas, M, w ⊨_K □(φ → ψ), bet M, w ⊭_K (□φ → □ψ). Tai, kad pastaroji implikacija nėra teisinga w, reiškia, kad M, w ⊨_K □φ ir M, w ⊨ ~□ψ. Iš fakto, kad ~□ψ yra teisinga formulė w, galime išvesti, kad M, w ⊨◇~ψ (pagal ◇~φ ≡ ~□φ). Tarkime, kad w₁ – tai bet koks W narys, kuris wRw₁ ir M, w₁ ⊨ ~ψ. Kadangi wRw₁ ir žinome, kad M, w ⊨_K □(φ → ψ) ir M, w ⊨_K □φ, tai M, w₁ ⊨_K (φ → ψ) ir M, w₁ ⊨_K φ. Kadangi M, w₁ ⊨_K (φ → ψ), tai M, w₁ ⊭_K φ arba M, w₁ ⊨_K ψ. Bet jau žinome, kad M, w₁ ⊨_K φ, taigi, M, w₁ ⊨_K ψ. Bet jau anksčiau įrodėme, kad M, w₁ ⊨ ~ψ, taigi, gaunamas prieštaravimas. Taigi, priėmę prielaidą, kad M, w ⊨_K ~(□(φ→ ψ) → (□φ →□ψ)), gavome prieštaravimą, t. y. M, w₁ ⊨_K ~ψ ir M, w₁ ⊨ ψ. Kadangi ir modelis M, ir w buvo pasirinkti arbitraliai, galime daryti išvadą, kad ⊨_K □(φ→ ψ) → (□φ →□ψ). ▮

Dabar nurodome pagrindines formalias sąlygas rėmams. Tarkime, kad (W, R) – tai rėmas F. Sakome, kad F yra:

1. serialus – jei kiekvienam w ∊ W yra toks w′ ∊ W, kuris wRw′;

2. refleksyvus – jei kiekvienam w ∊ W galioja, kad wRw;

3. simetriškas – jei visiems w, w′ ∊ W galioja, kad wRw′ implikuoja w′Rw;

4. tranzityvus – jei visiems w, w′, w′′ ∊ W galioja, kad jei wRw′ ir w′Rw′′, tai wRw′′.

Atitinkamai sakome, kad modelis yra serialus (refleksyvus, simetriškas, tranzityvus), jei rėmas, kuriuo paremtas modelis, yra serialus (refleksyvus, simetriškas, tranzityvus).

Lentelėje nurodome logikų pavadinimus ir atitinkamas rėmų sąlygas:

Atitinkamai sakome, kad modelis yra K (D, T, KB, K4, S4, …), jei rėmas, kuriuo paremtas modelis, yra vienas iš K (D, T, KB, K4, S4, …) rėmų. Skirtingos logikos turi skirtingas tapačiai teisingas formules. Intuityviai kalbant, kuo daugiau žinome apie rėmą, tuo daugiau turėsime tapačiai teisingų formulių. Pavyzdžiui, visos K tapačiai teisingos formulės bus ir D, ir T, … tapačiai teisingos formulės, bet kai kurios S5 tapačiai teisingos formulės nebus nei S4, nei B, nei … tapačiai teisingos formulės. 

Sakome, kad logika L₁ išplečia logiką L, jei ir tik jei: jei ⊨_L φ, tai ⊨_L1 φ ir kai kurios L₁ tapačiai teisingos formulės nėra L tapačiai teisingos. Pateikiame schemą, kurioje rodyklė „→“ žymi, kad logika, iš kurios išeina rodyklė, yra išplėsta tos logikos, į kurią rodyklė nukeliauja.

Pateikiame vieną pavyzdį: įrodome, kad ⊨_K4 □φ→□□φ, bet ⊭_K □φ→□□φ.

Įrodome, kad ⊨_K4 □φ→□□φ. Tarkime, kad yra toks tranzityvus modelis M ir modelio galimas pasaulis w ∊ W, kur M, w ⊭_K4 □φ→□□φ. Kitaip tariant, M, w ⊨_K4 □φ, bet M, w ⊨_K4 ~□□φ. Pastarojoje išraiškoje pakeiskime abu □ į ~◇~. Tada gauname M, w ⊨_K4 ~~◇~~◇~φ, o pagal dvigubo neigimo taisyklę galime gauti M, w ⊨_K4 ◇◇~φ. Taigi, yra toks w₁, kuris wRw₁ ir M, w₁ ⊨_K4 ◇~φ. Vadinasi, yra toks w₂, kuris w₁Rw₂ ir M, w₂ ⊨_K4 ~φ. Kadangi mūsų modelis yra tranzityvus, tai iš wRw₁ ir w₁Rw₂ galime išvesti, jog wRw₂. Bet mes žinome, kad M, w ⊨_K4 □φ, taigi, M, w₂ ⊨_K4 φ. Priėmę, kad M, w ⊭_K4 □φ→□□φ, gavome prieštaravimą, t. y. M, w₂ ⊨_K4 φ ir M, w₂ ⊨_K4 ~φ. Kadangi ir tranzityvus modelis, ir galimas pasaulis buvo pasirinkti arbitraliai, galime daryti išvadą, kad ⊨_K4 □φ→□□φ. ▮

Įrodome, kad ⊭_K □φ→□□φ. Tarkime, kad M – tai kažkoks modelis, kur w, w₁, w₂ ∊ W. Tarkime, kad wRw₁ ir w₁Rw₂ bei M, w₁ ⊨_K φ ir M, w₂ ⊨_K ~φ. Tada M, w ⊨_K □φ, bet M, w ⊨_K ~□□φ. Taigi, M, w ⊨_K ~(□φ→~□□φ). Tai reiškia, kad yra toks K-modelis ir modelio galimas pasaulis, kuriame □φ→□□φ nėra teisinga formulė. Vadinasi, ⊭_K □φ→□□φ. ▮

Turėdami reikiamą terminologiją, galime apibrėžti loginio sekmens bei loginio lygiareikšmiškumo sąvokas. Sakykime, kad L – tai bet kuri iš logikų, pateiktų schemoje nr. 1. 

• Modalinėje teiginių logikoje L formulė ψ yra formulių φ₁,…, φ_n loginis sekmuo (žymime φ₁,…, φ_n ⊨_L ψ), jei ir tik jei visuose L-modeliuose ir visuose modelio galimuose pasauliuose w, jei M, w ⊨_L φ₁,…, φ_n, tai M, w ⊨_L ψ.

Sakome, kad ψ yra formulių φ₁,…, φ_n loginis sekmuo_L, arba ψ logiškai seka_L iš φ₁,…, φ_n.

• Dvi modalinės teiginių logikos formulės φ ir ψ yra logine prasme lygiareikšmės logikoje L (žymime φ ⇔_L ψ), jei ir tik jei visuose L-modeliuose ir visuose modelio galimuose pasauliuose w: M, w ⊨_L φ jei ir tik jei M, w ⊨_L ψ.

Kaip ir klasikinėje teiginių logikoje, taip ir modalinėje teiginių logikoje ir loginio sekmens sąvoką, ir ir loginį lygiareikšmiškumą galime redukuoti į tapačiai teisingas formules. 

• Loginis sekmuo: 

φ₁, …, φ_n ⊨_L ψ, jei ir tik jei φ₁ & … & φ_n ⊨_L ψ, jei ir tik jei ⊨_L (φ₁ & … & φ_n) → ψ. 

• Loginis lygiareikšmiškumas: φ ⇔_L ψ, jei ir tik jei φ ⊨_L ψ ir ψ ⊨_L φ, jei ir tik jei ⊨_L φ ≡ ψ.

Įrodymų teorija

Dabar bus nusakoma modalinės teiginių logikos įrodymų teorija. Pagrindinė užduotis įrodymų teorijos ribose atžvilgiu semantiškai apibrėžtos logikos L – tai nusakyti deduktyvią sistemą, kuri būtų adekvati semantiškai apibrėžtai logikai L.

Deduktyvioje sistemoje D ψ išvedimą iš prielaidų φ₁,…, φ_n žymėsime φ₁, …, φ_n ⊢_D ψ. φ₁, …, φ_n ⊢_D ψ reiškia, kad esama sakinio ψ įrodymo iš prielaidų φ₁, …, φ_n. Jei sistemoje D galime įrodyti formulę ψ nesiremdami jokiomis prielaidomis, tai sakysime, kad ψ yra teorema ir žymėsime ⊢_D ψ.

Tam, kad deduktyvi sistema D „būtų adekvati semantiškai apibrėžtai logikai L“, D turi atitikti du kriterijus: ji turi būti neprieštaringa ir pilna atžvilgiu L.

• (neprieštaringumas): D yra neprieštaringa atžvilgiu L, jei ir tik jei φ₁, …, φ_n ⊢_D ψ ⇒ φ₁, …, φ_n ⊨_L ψ;
• (pilnumas): D yra pilna atžvilgiu L, jei ir tik jei φ₁, …, φ_n ⊨_L ψ ⇒ φ₁, …, φ_n ⊢_D ψ.

Kitaip sakant, D adekvati semantiškai apibrėžtai logikai L, jei ir tik jei tai, kas išvedama sistemoje D, sutampa su tuo, kas logiškai seka logikoje L.

Pabrėžiame, kad yra įvairių būdų pateikti įrodymų teoriją semantiškai apibrėžtai logikai L – semantinių medžių, aksiomatinės sistemos, sekvencijų skaičiavimas ir t. t. Plačiau apie modalinę teiginių logiką su semantiniais medžiais žr. Fitting & Mendelsohn (1998: 47–65), Priest (2008: 20–63); aksiomatinės sistemos naudojamos Sider (2010); apie sekvencijų skaičiavimą modalinėje teiginių logikoje žr. Fitting (2007: 113–116). 

Pateikiame aksiomatinę sistemą, kurioje specifikuojame aksiomų schemas ir išvedimo taisykles.

Logikos K įrodymų teorija D_K yra:

Aksiomos

(teiginių logika): jei φ yra tautologija teiginių logikoje, tai φ yra aksioma;

(aksiomos schema K): □(φ → ψ) → (□φ → □ψ).

Išvedimo taisyklės

(modus ponens): jei φ ir φ → ψ, tai ψ;

(būtinumo įvesties taisyklė): jei ⊢φ, tai ⊢□φ.

Svarbu pabrėžti, kad būtinumo įvesties taisyklė nesako, jog jei kažkokia formulė yra teisinga, tai ji būtinai teisinga. Ši išvedimo taisyklė leidžia iš jau išvestos teoremos išvesti tai, kad ji yra būtina. Čia notacija φ₁, …, φ_n ⊢_D ψ suprantama kaip ⊢_D (φ₁ & … & φ_n) → ψ.

Galima įrodyti, kad D_K yra adekvati semantiškai apibrėžtai logikai K, t. y. visos D_K teoremos yra K-tapačiai teisingos formulės bei visos K-tapačiai teisingos formulės yra D_K teoremos.

Prie D_K galime prijungti papildomas aksiomų schemas ir tada turėsime adekvačias dedukcines sistemas atžvilgiu kitų semantiškai apibrėžtų logikų, kurias įvardinome anksčiau pateiktoje lentelėje (žr. schema nr. 1.). Pavyzdžiui, prie D_K prijungę aksiomų schemą □φ→φ gautume aksiomatinę sistemą adekvačią semantiškai apibrėžtai logikai T. Pateikiame lentelę, kurioje nurodome logikos pavadinimą, atitinkamą sąlygą rėmams bei aksiomų schemą, kurią prijungę prie D_K gautume aksiomatinę sistemą, adekvačią semantiškai apibrėžtai logikai. Plačiau apie pilnumo ir neprieštaringumo įrodymus šioms logikoms žr. Hughes & Cresswell (1996: 111–121), Fitting (2007: 87–91). 

Predikatų modalinė logika

Predikatų modalinė logika gaunama prie klasikinės predikatų logikos prijungus modalinius operatorius. Tai galima atlikti skirtingais būdais priklausomai nuo to, kaip atsakysime į klausimus: ar kiekviena individinė konstanta visuose galimuose pasauliuose nurodo tą patį individą? Ar modelis turi tik vieną domeną, ar po vieną domeną kiekvienam galimam pasauliui?

Aptariame modalinės predikatų logikos simbolius, taisyklingas formules, semantiką ir pateikiame nuorodas į literatūrą apie įrodymų teoriją.

Simboliai

Modalinės predikatų logikos simboliai yra: skaiti begalybė kintamųjų x₀, x₁, …; skaiti begalybė individinių konstantų k₀, k₁,…; skaiti begalybė vienviečių predikatų simbolių P₁, P′₁, P′′₁,…; skaiti begalybė dviviečių predikatų simbolių P₂, P′₂, P′′₂,…; …; skaiti begalybė n-viečių predikatų simbolių P_n, P′_n, P′′_n,…; ∀ (bendrumo kvantorius), ∃ (dalinis kvantorius), & (konjunkcija), v (disjunkcija), ~ (neigimas), → (implikacija), ≡ (ekvivalencija), □ (būtinumo operatorius),  ◇ (galimybės operatorius), ( (kairysis skliaustas), ) (dešinysis skliaustas).

Įprastai kintamuosius rašome x, y, z,…; individines konstantas – a, b, c, …; n-viečius predikatus – P, Q, S ir t. t. Konstantas ir kintamuosius vadiname termais.

Taisyklingos formulės

Predikatų modalinės logikos taisyklingos formulės rekursyviai apibrėžiamos tokiu būdu: 

(1) jei t₁, …, t_n yra termai, o P yra n-vietis predikatas, tai P(t₁, …, t_n) yra taisyklinga formulė;

(2) jei φ yra taisyklinga formulė, tai ~φ, □φ ir ◇φ yra taisyklingos formulės;

(3) jei φ ir ψ yra taisyklingos formulės, tai (φ & ψ), (φ v ψ), (φ → ψ) ir (φ ≡ ψ) yra taisyklingos formulės;

(4) jei φ yra taisyklinga formulė, o x bet koks kintamasis, tai ∀xφ(x) ir ∃xφ(x) yra taisyklingos formulės;

(4) jokia kita simbolių seka, kuri nėra sugeneruota pagal (1), (2), (3) ir (4), nėra taisyklinga formulė.

Semantika

Norint pateikti predikatų modalinės logikos semantiką, reikia atsakyti į porą klausimų. Visų pirma, intuityviai vis kiti objektai gali egzistuoti skirtinguose galimuose pasauliuose. Pavyzdžiui, galėjau turėti daugiau seserų ar brolių. Taigi, nors faktiniame pasaulyje jų nėra, tačiau kitame galimame pasaulyje jie egzistuoja. Kita vertus, galėjo nutikti taip, kad aš neegzistuočiau, t. y. yra toks galimas pasaulis, kuriame manęs nėra. Iškyla klausimas, ar yra vienas domenas, kuris yra bendras visiems galimiems pasauliams, ar yra daug domenų, t. y. po vieną kiekvienam pasauliui. Jei sakysime, kad yra tik vienas modelio domenas, tai turėsime nekintamo domeno modelius. Jei priskirsime po vieną domeną kiekvienam galimam pasauliui, tai turėsime varijuojančio domeno modelius. 

Taip pat aptariant varijuojančio domeno modelius iškils klausimas: ar kvantorių galiojimo sritis yra tik vietinis galimo pasaulio domenas, ar vis dėlto domenas bus visų modelyje esančių galimų pasaulių domenų sąjunga, t. y. globalus domenas? Jei kvantorių galiojimo sritis yra tik vietinio galimo pasaulio domenas, tai sakysime, kad kvantoriai yra aktualistiniai, o jei globalus, tai kvantorius vadinsime posibilistiniais.

Nekintamo domeno semantika

Norint apibrėžti nekintamo domeno predikatų modalinės logikos semantiką reikės kelių papildomų terminų. 

Nekintamo domeno papildytas Kripkės rėmas G – tai trejetas (W, R, D), kur W – aibė galimų pasaulių, R – prieinamumo ryšys tarp galimų pasaulių, R ⊆ W², o D – netuščia aibė, vadinama rėmo domenu. Intuityviai D – tai aibė individų. Sakome, kad rėmas yra papildytas, nes modalinės teiginių logikos rėmą papildėme nauju elementu D. 

Anksčiau aptartoje modalinėje teiginių logikoje interpretacinė funkcija specifikavo, kurie sakiniai yra teisingi kuriuose galimuose pasauliuose. Atitinkamai predikatų logikoje interpretacinė funkcija specifikuos kiekvieno predikato ekstensiją kiekviename galimame pasaulyje ir kiekvienos individinės konstantos denotaciją.

Nekintamo domeno modelis M, paremtas nekintamo domeno papildytu Kripkės rėmu G – tai ketvertas (W, R, D, V), kur (W, R, D) = G, o V – tai interpretacinė funkcija, kuri (i) kiekvienam w∊W ir n-viečiam predikatui P priskiria n-vietį domeno D sąryšį, t. y. V(P, w) ⊆ Dⁿ; ir (ii) visoms individinėms konstantoms a priskiria objektą iš D, t. y. V(a)∊D.

Pabrėžiame, kad šiame modelyje individinės konstantos visuose galimuose pasauliuose turi tą pačią denotaciją. Įprastai (po Kripkės paskaitų ciklo Vardai ir būtinumas (1980)) sutinkama, kad vardai visuose galimuose pasauliuose nurodo tą patį objektą ir yra rigidiniai designatoriai (plačiau žr. Rigidiniai designatoriai).

Sakykime, kad KINT – tai aibė visų mūsų formalioje kalboje esančių kintamųjų aibė, o TERM – tai aibė visų termų.

Kintamųjų priskyrimo funkcija a modelyje M – tai funkcija iš kintamųjų aibės KINT į modelio domeną D, kuri kiekvienam kintamajam priskiria domeno narį, t. y. kiekvienam kintamajam x, a(x)∊D. Žymėkime a[d / x] tokią pat kintamųjų priskyrimo funkcija, kaip ir a, išskyrus tai, kad a[d / x] x-ui priskiria objektą d iš domeno D.

Atžvilgiu modelio M ir kintamųjų priskyrimo funkcijos a termų denotacinė funkcija den_a – tai funkcija iš TERM į modelio domeną D, kuri kiekvienam termui priskiria domeno narį. Funkcijos reikšmę nustatome tokiu būdu: jei t yra konstanta, tai den_a(t)=V(t), o jei t yra kintamasis, tai den_a(t)= a(t).

[Tiesa modelyje] Taisyklinga modalinės predikatų logikos formulė φ yra teisinga nekintamo domeno modelyje M=(W, R, D, V) modelio galimame pasaulyje w∊W remiantis kintamųjų priskyrimo funkcija a (žymime M, w, a ⊨ φ), kai:

M, w, a ⊨ P(t₁, …, t_n), jei ir tik jei (den_a(t₁), …, den_a(t_n)) ∊ V(P, w);

M, w, a ⊨ t₁ = t_2, jei ir tik jei den_a(t₁)= den_a(t₂);

M, w, a ⊨ ~φ, jei ir tik jei M, w, a ⊭ φ;

M, w, a ⊨ φ & ψ, jei ir tik jei M, w, a ⊨ φ ir M, w ⊨ ψ;

M, w, a ⊨ □φ, jei ir tik jei M, w′, a ⊨ φ visiems w′∊W, kurie wRw′;

M, w, a ⊨ ◇φ, jei ir tik jei M, w′, a ⊨ φ bent viename w′∊W, kuris wRw′;

M, w, a ⊨ ∃xφ, jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ bent vienam d ∊ D;

M, w, a ⊨ ∀xφ, jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ visiems d ∊ D.

Intuityviai kalbant, objektai, kurie yra termų t₁, …, t_n semantinės reikšmės, yra sąryšyje P galimame pasaulyje w, jei ir tik jei jie patenka į to predikato ekstensiją galimame pasaulyje w. 

Predikato ekstensija gali kisti skirtinguose galimuose pasauliuose. Pavyzdžiui, jei dvivietis predikatas P reiškia būti gimus tais pačiai metais, tai nors Valdas Adamkus ir Michelis Foucault faktiniame pasaulyje yra susieti šiuo sąryšiu (t. y. abu gimę 1926 metais), tačiau jei Adamkus būtų gimęs dviem mėnesiais vėliau, jie nebūtų susieti šiuo sąryšiu (Adamkus gimė lapkričio 3-ią dieną). 

Sakome, kad visi x yra tokie, kad φ yra teisinga formulė, jei ir tik jei, kad ir kokį individą priskirtume x, vis tiek gausime teisingą formulę. Mutatis mutandis tai galioja dalinio kvantoriaus atveju.

Formulė φ yra tapačiai teisinga nekintamo domeno modelyje M (žymime M ⊨_NL φ), jei ir tik jei M, w, a ⊨_NL φ kiekvienam a ir kiekvienam modelio galimam pasauliui. Tokias formules kaip „tapačiai teisinga nekintamo domeno papildytame rėme, rėmų rinkinyje“ ir panašiai apibrėžiame, mutatis mutandis, kaip ir modalinėje teiginių logikoje. Skirtingos nekintamo domeno semantikos predikatų modalinėje logikoje semantiškai nusakomos pagal L-tapačiai teisingų formulių aibes, t. y. iš esmės nurodant skirtingas L-nekintamo domeno papildytų rėmų klases. Atitinkamai žymima: ⊨_NK, ⊨_NT, ⊨_NK4 ir t. t. NL žymės bet kurią iš šių logikų.

Parodome, kad Barcan schema yra tapačiai teisinga silpniausioje nekintamo domeno logikoje K:

(Barcan schema) ⊨_NK ◊∃xφ(x) → ∃x◊φ(x).

Tarkime, kad M, w, a ⊨_NK ~(◊∃xφ(x) → ∃x◊φ(x)) kažkokiems M, w ir a. Taigi, M, w, a ⊨_NK ◊∃x φ(x) ir M, w, a ⊨_NK ~∃x◊φ(x). Jei M, w, a ⊨_NK ◊∃xφ(x), tai kažkokiam w₁, wRw₁ ir M, w₁, a ⊨_NK ∃xφ(x). Taigi, M, w₁, a[d / x] ⊨_NK φ(x) kažkokiam d ∊ D. Bet jei M, w, a ⊨_NK ~∃x◊φ(x), tai M, w, a ⊨_NK ∀x~◊φ(x). Pagal ~◇φ≡□~φ gauname M, w, a ⊨_NK ∀x□~φ(x). Taigi, M, w, a[d / x] ⊨_NK □~φ(x), nes D yra apibrėžtas visam modeliui, o ne lokaliai kiekvienam pasauliui, taigi, žinome, kad objektas d egzistuoja visuose pasauliuose. Kadangi wRw₁, tai M, w₁, a[d / x] ⊨_NK ~φ(x). Priėmę prielaidą, kad M, w, a ⊨_NK ~(◊∃xφ(x) → ∃x◊φ(x)), gavome prieštaravimą, t. y. M, w₁, a[d / x] ⊨_NK φ(x) ir M, w₁, a[d / x] ⊨_NK ~φ(x). Kadangi nekintamo domeno modelis, galimas pasaulis ir kintamųjų priskyrimo funkcija buvo pasirinkti arbitraliai, galime daryti išvadą, kad ⊨_NK ◊∃xφ(x) → ∃x◊φ(x). ▮

Įrodymas, kad Barcan schemos konversija ∃x◊φ(x) → ◊∃xφ(x) yra tapačiai teisinga, beveik identiškas ką tik pateiktajam. Paliekame jį skaitytojui.

Varijuojančio domeno modeliai ir aktualistiniai kvantoriai

Nekintamo domeno modeliuose turime tik vieną domeną. Kiekviename galimame pasaulyje kvantorių galiojimo sritis yra identiška – tai modelio domenas D. Tačiau, kaip minėta anksčiau, gali atrodyti, kad skirtingi objektai egzistuoja skirtinguose pasauliuose. Atrodytų, kad kvantoriai gali turėti vis kitokius domenus skirtinguose pasauliuose. Kalbant neformaliai, jei aš būčiau neegzistavęs, tai ar tokiame galimame pasaulyje kažkam sakant, jog visi objektai pasižymi savybe P, ar būčiau įtrauktas į „visi“ apimtį? Varijuojančio domeno modelių bei aktualistinių kvantorių šalininkai atsako neigiamai – skirtinguose galimuose pasauliuose egzistuoja vis kiti individai, o kvantorių galiojimo sritis yra tik vietinis pasaulio domenas, taigi, kvantoriai „pasiekia“ tik tame pasaulyje egzistuojančius objektus.

Kita vertus, varijuojančio domeno modeliuose galima apibrėžti ir posibilistinius kvantorius: nors kiekvienas pasaulis gali turėti vis kitą domeną, tačiau kaip kvantorių galiojimo sritis čia suprantama visų vietinių domenų sąjunga –globalus modelio domenas. Kaip bus matyti, prie varijuojančių domenų modelių semantikos prijungus posiblistinius kvantorius formaliu požiūriu gauname tą pačią nekintamo domeno modelių semantiką. Taip pat parodysime, kokiu būdu galima išversti nekintamo domeno semantiką į varijuojančio domeno semantiką, ir atvirkščiai.

Varijuojančio domeno papildytas Kripkės rėmas G – tai trejetas (W, R, D), kai W ir R suprantama kaip visada, o D – tai domeno funkcija, kuri kiekvienam w∊W priskiria domeną D_w.

Apibrėžkime globalų varijuojančio domeno rėmo domeną: sakykime, kad D = ⋃{D_w: w∊W}.

Varijuojančio domeno modelis M, paremtas varijuojančio domeno papildytu Kripkės rėmu G – tai ketvertas (W, R, D, V), kai (W, R, D) = G, o V – tai interpretacinė funkcija, kuri (i) kiekvienam w∊W ir n-viečiam predikatui P priskiria n-vietį domeno D sąryšį, t. y. V(P, w) ⊆ Dⁿ; ir (ii) visoms individinėms konstantoms a priskiria objektą iš D, t. y. V(a)∊D.

[Tiesa modelyje] Taisyklingos predikatų modalinės logikos formulės φ teisingumą varijuojančio domeno modelyje apibrėžiame lygiai taip pat kaip ir nekintamo domeno modeliuose, išskyrus: 

aktualistiniai kvantoriai

M, w, a ⊨ ∃xφ jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ bent vienam d ∊ D_w;

M, w, a ⊨ ∀xφ jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ visiems d ∊ D_w;

posibilistiniai kvantoriai

M, w, a ⊨ ∃xφ jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ bent vienam d ∊ D;

M, w, a ⊨ ∀xφ jei ir tik jei M, w, a[d / x] ⊨ φ visiems d ∊ D.

Aktualistinių kvantorių atveju intuityviai sakome, kad visi x yra tokie, jog φ yra teisinga formulė, jei ir tik jei, kad ir kokį individą iš w priskirtume x, vis tiek gausime teisingą formulę φ. Mutatis mutandis tai galioja dalinio kvantoriaus atveju. Posiblistinių kvantorių atveju teigiama: visi x yra tokie, kad φ yra teisinga formulė, jei ir tik jei, kad ir kokį faktinį ar vien tik galimą individą priskirtume x, vis tiek gausime teisingą formulę φ. Mutatis mutandis tai galioja dalinio kvantoriaus atveju.

Palyginus formulės ∀xφ teisingumo sąlygas nekintamo domeno modelių semantikoje  ir varijuojančio domeno modelių semantikoje su posibilistine kvantorių interpretacija akivaizdu, kad šios logikos yra identiškos. Toliau varijuojančio domeno semantika vadiname tik varijuojančio domeno semantiką su aktualistine kvantorių interpretacija. 

Barcan schema ir jos konversija varijuojančio domeno semantikoje

Parodome, kad varijuojančio domeno semantikoje su aktualistiniais kvantoriais Barcan schema nėra tapačiai teisinga (yra kontrapavyzdžių šiai schemai).

Sakykime, kad a – tai bet kokia kintamųjų priskyrimo funkcija. Tada M, w₂, a[d / x] ⊨ P(x), nes a[d / x]=d, o objektas d turi savybę P. Taigi, M, w₂, a ⊨ ∃xφ(x), nes yra kažkokia kintamųjų priskyrimo funkcija, kuria remiantis P(x) yra teisinga formulė galimame pasaulyje w₂, t. y. būtent a[d / x]. Kadangi w₁Rw₂, tai M, w₁, a ⊨ ◊∃xP(x). Parodėme, kad duotajame modelyje implikacijos antecedentas yra teisingas. Dabar turime parodyti, jog konsekventas yra klaidingas. M, w₁, a ⊨ ~∃x◊P(x), nes vienintelis objektas, egzistuojantis galimame pasaulyje w₁, yra e, bet M, w₁, a[e / x] ⊨ ~◊P(x)), kadangi vieninteliame galimame pasaulyje, kuris yra prieinamas iš w₁, t. y. galimame pasaulyje w₂, objektas e neturi savybės P. Parodėme, kad pateiktame modelyje ⊭_VK ◊∃xP(x) → ∃x◊P(x). Pastaroji formulė yra Barcan schemos substitucijos atvejis, taigi, ⊭_VK ◊∃xφ(x) → ∃x◊φ(x). ▮

Įrodymas, kad Barcan schemos konversija ∃x◊φ(x) → ◊∃xφ(x) nėra tapačiai teisinga varijuojančio domeno semantikoje, beveik identiškas ką tik pateiktajam.

Sakykime, kad varijuojančio domeno papildytas Kripkės rėmas G yra:

1. nemažėjantis – jei visiems w, w₁∊W, jei wRw₁, tai D_w ⊆ D_w1;

2. nedidėjantis – jei visiems w, w₁∊W, jei wRw₁, tai D_w1 ⊆ D_w.

Varijuojančio domeno modelis yra nemažėjantis (nedidėjantis), jei rėmas, kuriuo jis paremtas, yra nemažėjantis (nedidėjantis). Intuityviai kalbant, nemažėjančiuose modeliuose, kai pereiname iš vieno galimo pasaulio į kitą, su savimi „atsinešame“ visus individus iš praeito pasaulio – nė vienas individas nepradingsta. O nedidėjančiuose modeliuose, kai pereiname iš vieno galimo pasaulio į kitą, šiame pasaulyje nesurasime nė vieno naujo individo, nors galbūt kai kurie iš praeito pasaulio pradings.

Tarkime, kad E(x) – tai formulės ∃y(x=y) trumpinys. Intuityviai kalbant, E(x) sako, kad x egzistuoja. Kadangi aktualistinio kvantoriaus ∃ domenas yra vietinis, tai E(x) sako, kad x yra tapatus kažkam iš vietinio domeno. Galima įrodyti, kad:

1. varijuojančio domeno papildytas Kripkės rėmas G yra nedidėjantis, jei ir tik jei G ⊨_VL ◊∃xφ(x) → ∃x◊φ(x) (t. y. jei Barcan schema yra tapačiai teisinga rėme), jei ir tik jei G ⊨_VL ◊E(x) → E(x);

2. varijuojančio domeno papildytas Kripkės rėmas G yra nemažėjantis, jei ir tik jei G ⊨_VL ∃x◊φ(x) → ◊∃xφ(x) (t. y. Barcan schemos konversija yra G-tapačiai teisinga), jei ir tik jei G ⊨_VL E(x) → □E(x), jei ir tik jei G ⊨_VL ∀x□E(x);

(faktų 1. ir 2. įrodymus žr. Fitting & Mendelsohn 1998: 180–182 ir Fitting 1999).

Taigi, intuityviai kalbant Barcan schema sako, kad judant nuo vieno galimo pasaulio prie kito niekas neatsiranda, o Barcan schemos konversija sako, kad judant nuo vieno galimo pasaulio prie kito niekas neišnyksta. Jei kažkokiame varijuojančio domeno modelyje ir Barcan schema, ir Barcan schemos konversija yra tapačiai teisingos formulės, tai šiame modelyje niekas neatsiranda ir niekas neišnyksta. Taigi, formulė φ yra tapačiai teisinga nekintamo domeno semantikoje, jei ir tik jei φ yra tapačiai teisinga kiekviename varijuojančio domeno semantikos modelyje, kuriame tapačiai teisinga formulė ◊E(x) → E(x) & ∀x□E(x). Kitaip sakant, nekintamo domeno semantika gali būti išversta į varijuojančio domeno semantiką.

Atitinkamai galime išversti ir varijuojančio domeno semantiką į nekintamo domeno semantiką pastarojoje įsivedus neapibrėžtą egzistavimo predikatą. Kadangi nekintamo domeno semantikoje turime vieną modelio domeną, o varijuojančio domeno semantikoje turime daug domenų, tai iš nekintamo domeno semantikos perspektyvos varijuojančio domeno semantikos kvantorių ∃x galime suprasti kaip teigiantį, jog visi iš globalaus domeno, kas pasižymi faktinio egzistavimo savybe, yra tokie, kad … Tokiu būdu galime išversti visas formules iš varijuojančio domeno semantikos į nekintamo domeno semantiką. Plačiau žr. Fitting (1998: 106–107).

Tapatybės būtinumas

Kadangi tiek kintamųjų priskyrimo funkciją, tiek ir individinių konstantų denotaciją apibrėžėme globaliai visame modelyje, tai tapatybės būtinumas trivialiai išplaukia ir nekintamo domeno semantikoje, ir varijuojančio domeno semantikoje: ⊨_NL t₁ = t₂ → □( t₁ = t₂) ir ⊨_VL t₁ = t₂ → □(t₁ = t₂). 

Kita vertus, pabrėžtina, jog dalis į objektus nurodančių formulių tikrai nėra rigidiniai designatoriai. Pavyzdžiui, jei kalbame apie išraišką Lietuvos Respublikos Prezidentas, tikrai nederėtų priimti prielaidos, kad ši formulė visuose galimuose pasauliuose nurodo tą patį objektą. Plačiau apie nerigidinius termus ir apibrėžiamąsias deskripcijas bei jų semantiką žr. Fitting & Mendelsohn (1998: 248–275).

Įrodymų teorija

Įrodymų teoriją ir pilnumo bei neprieštaringumo įrodymus modalinėms predikatų logikoms žr. žemiau pateiktose nuorodose.

Literatūra

Blackburn, P., Rijke. & Venema, Y., 2001. Modal logic. Cambridge: Cambridge University Press.

Blackburn, P., Benthem, J. & Wolter, F., 2006. Handbook of Modal Logic. Burlington: Elsevier.

Fitting, M. & Mendelsohn R. M., 1998. First-Order Modal Logic, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Fitting, M., 1999. Barcan Both Ways. Journal of Applied Non-Classical Logics, 9(2-3): 329–344.

Gabbay, D., Shehtman, V. & Skvortsov, D., 2009. Quantification in Nonclassical Logic. Amsterdam Boston: Elsevier.

Garson, J. W., 2013. Modal logic for philosophers. New York, NY: Cambridge University Press.

Goré, R., 1999. Tableau Methods for Modal and Temporal Logics. In: Handbook of Tableau Methods, (eds.) M. D’Agostino, D. M. Gabbay, R. Hähnle & J. Posegga, 297–396. Dordrecht: Springer Netherlands.

Hughes, G. E. & Cresswell, M. J., 1996. A New Introduction to Modal Logic, London: Routledge.

Priest, G., 2008. An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is. Cambridge New York: Cambridge University Press.

Plačiau skaityti: klasikiniai įvadai į modalinę logiką Hughes & Cresswell 1996, Fitting & Mendelsohn 1998, Garson 2013, Priest 2008; detalesnės ir matematiniu požiūriu išsamesnės studijos Fitting 1999, Goré 1999, Blackburn et al. 2001, Garson 2001, Blackburn et al. 2006, Gabbay et al. 2009.